सदिश xhat{i} + yhat{j} + zhat{k},(2, 3, -1) औ | vedclass

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Question

(C) माना $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ और समतल को परिभाषित करने वाले दो सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat

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$x(y + z) = yz$

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(C) माना $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ और समतल को परिभाषित करने वाले दो सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} 	imes \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & -1 \ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं।माना $	heta$ सदिश $\vec{v}$ और समतल के बीच का कोण है। तब सदिश $\vec{v}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $90^{\circ} - 	heta$ होगा।दिया है $\cot 	heta = \sqrt{2}$,इसलिए $	an 	heta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $\sin 	heta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cos 	heta = \sqrt{\frac{2}{3}}$.डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करने पर: $\sin 	heta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|x - y - z|}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \sqrt{3}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{(x - y - z)^2}{3(x^2 + y^2 + z^2)}$.$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2yz - 2zx$.$0 = -2xy + 2yz - 2zx$.$xy + zx = yz$,अर्थात $x(y + z) = yz$.

सदिश $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,$(2, 3, -1)$ और $(1, -1, 2)$ सदिशों वाले समतल के साथ $\cot^{-1} \sqrt{2}$ का न्यून कोण बनाता है। तो,

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यदि $a=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $c=\hat{j}-\hat{k}$, $a \times b=c$ और $a \cdot b=3$ है, तो $b$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ऐसे सदिश हैं कि $\bar{a} \neq \bar{o}, \bar{b} \neq \bar{o}, \bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ और $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ है। तो:

यदि $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}$ और $\bar{b}=2 \hat{i}-\hat{k}$ है,तो रेखाओं $\bar{r} \times \bar{a}=\bar{b} \times \bar{a}$ और $\bar{r} \times \bar{b}=\bar{a} \times \bar{b}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

$\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $-\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ के समतल के लंबवत $10 \sqrt{3}$ परिमाण वाले सभी सदिश ज्ञात कीजिए।

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